Matematicas II: 2015

lunes, 11 de mayo de 2015

CONTENIDO

BLOQUE VIII: APLICAS LAS LEYES DE SENOS Y COSENOS.

En el Bloque VIII aplicarás las leyes de los senos y cosenos.

BLOQUE IX: APLICAS LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL.

En el Bloque IX identificarás el significado de población y muestra, además de reconocer y aplicar los conceptos de medidas de tendencia central y de dispersión.

BLOQUE X: EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE LA PROBABILIDAD.

Lo aprendido en el Bloque X te permitirá distinguir entre eventos deterministas y aleatorios, utilizando las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidad.

Probabilidad

DEFINICIÓN CLASICA

Si en un experimento pueden producirse N resultados igualmente posibles y si dentro de estos N resultados el evento A puede ocurrir

veces, la probabilidad del evento A está dada por

Ejemplo:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

REGLA DE ADICIÓN

Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo pueden obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones básicas de los conjuntos también son útiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.

De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:

Ejemplo:

1.- Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:
A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.
Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

REGLA DE LAS MULTIPLICACIONES

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar $P(A\cap B):$

Las relaciones $\left( 1\right)$ y $\left( 2\right)$ son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos

con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea

eventos tales que

. Entonces

Ejemplo

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene

items de los cuales

son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento (Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento $A_{1}\cap A_{2}$ que es la intersección entre los eventos $A_{1}$ y $A_{2}$ . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

Medidas de Dispersión

RANGO ESTADISTICO

El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.

Ejemplo:

Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

Rango = (9-4) = 5

VARIANZA

La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones:

S_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1}

$S_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$

Ejemplo:

Obtener la varianza de

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

DESVIACIÓN TÍPICA

La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.

Desviación típica muestral

S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

Desviación típica poblacional

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n fi (X_i - \mu)^2}{n}}

Ejemplo

-->x = [17 14 2 5 8 7 6 8 5 4 3 15 9]
x = 17. 14. 2. 5. 8. 7. 6. 8. 5. 4. 3. 15. 9.
-->stdev(x)
 = 4.716311

Medidas de Tendencia Central

MEDIA ARITMETICA

La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumadores.

\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

PROBLEMA:

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

MODA

La moda es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta. En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

Su cálculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.

Por ejemplo:

El número de personas en distintos vehículos en una carretera: 5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.

MEDIANA

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor.

En datos agrupados

EJEMPLO:

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho).
Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas:
N_i-1< n/2 < _i = N19 < 19.5 < N20
Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.

En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para X_i = 5) > 19.5 con lo que M_e = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)
La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Leyes de los Senos Y Cosenos

LEYES DE LOS SENOS

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

Problema:

LEYES DE LOS COSENOS

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc * cos(A)

b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac * cos(B)

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos(C)

Problema:

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

lunes, 20 de abril de 2015

Identidad trigonometrica

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen²α como (sen α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

Problema

Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Graficas de las Funciones Trigonometricas

Funciones trigonometricas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

CONCEPTOS

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: