Problemas de áreas y perímetros en el círculo

Área:

Se obtiene mediante la siguiente fórmula:

 

A = (3.14)"PI" x r2

 

En donde r = Radio

               Pi = 3.14

 

Problema:

 

Calcular el área de un círculo de radio 20 u

 

 

                     2

A= 3.14*20

A = 3.14 *400

                                2

A = 1,256 u

 

 

Perímetro:

 

Se obtiene mediante la siguiente fórmula

 

P = (3.14)"PI"x D

 

En donde:  D = Diámetro

                   Pi = 3.14

 

Problema:

 

Calcular el perímetro de un círculo de radio 20 u

 

 

P = 3.14*40

 

P = 125.6 u

 

 

 

 

 

 

 

Teorema de medias proporcionales

Teorema de Euclides referido a un cateto

“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

 

Del cual obtenemos otros dos teoremas:

Teorema del Cateto

El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

 

Teorema de la altura

La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

Teoremas de ángulos dentro y fuera de la circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

<AOB = (AB

 

 Ejemplo: Calcular la medida del ángulo central conociendo el arco  "(AB"= 60°

                             Entonces, Si <AOB = (AB, (AB=60° <AOB=60°

 

 

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

<AOB = ½ (AB

 

Ejemplo: Calcular la medida del ángulo inscrito conociendo el arco  "(AB"= 80°

 

Entonces si <AOB = ½ (AB . (AB=80°, <AOB=40°

 

Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

<AOB = ½ (AB

 

Ejemplo: Calcular la medida del ángulo semi-inscrito conociendo el arco  "(AB"= 82°

Entonces si,  <AOB = ½ (AB. (AB=82°, <AOB= 41°

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

<AOB = ½ ( (AB + (DC )

 Ejemplo: Calcular la medida del ángulo interior sabiendo la medida de "(AB"=60° "(DC"=20°

Entonces Si, <AOB = ½ ( (AB + (CD ).  60°+20°= <AOB= 80°

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia

<AOB = ½ ( (AB - (CD )

 

 Ejemplo: Calcular la medida del ángulo interior sabiendo la medida de "(AB"=60° "(DC"=20°

Entonces si, <AOB = ½ ( (AB - (CD )= 60° - 20° = <AOB=40°

 

Lugares Geométricos relacionados con la Circunferencia

Elipse:

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante

 

Hipérbola:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.

Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

 

Parábola:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz

 

Teoremas De ángulos en Polígonos

Teorema No. 1.

La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.

 

Ejemplo:

Obtener la suma de los ángulos interiores de un hexágono.

180° (6-2) = 180° (4) = 720°

 

Teorema No. 2.

Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”.

Ángulo interior = 180(n-2)

                               n

Ejemplo:

Encontrar la medida del ángulo interior de un octágono.

180° (8-2) / 8 =180° (6) / 8 = 1080 / 8 = 135°

 

Teorema No. 3.

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360°

                n

 

Ejemplo:

Calcular el ángulo exterior de un pentágono.

360 /5= 72°

 

Teorema No. 4.

El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2.

# De / = n(n-3)

         2

 

Ejemplo:

Encontrar el número de diagonales de un heptágono.

7 (7-3) / 2 = 7 (4) / 2 = 28 / 2 = 14°

Conceptos y Clasificación de Polígonos

Contenido de los Bloques IV y V

Bloque IV: Reconoces las propiedades de los polígonos

El Bloque IV aplicarás los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas

 

Bloque V: Reconoces las propiedades de la circunferencia

El Bloque V emplearás las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, diámetro, cuerda, arco, secantes y tangentes en la resolución de problemas. Así mismo resolverás ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia